近年来,轧机在轧制过程中经常发生的多种形式的非线性振动行为制约着轧制速度的提高[1]。这些振动行为不仅会引起带材的厚度波动,造成板带内部应力分布不均,产生断带、废品[2],降低生产效率,甚至损害轧制设备。因此,对轧机非线性振动行为的控制具有重要的工程和实际意义。
轧机振动控制的研究在国内外已经取得了一定的积极成果。目前,关于轧机振动的控制方法主要有三类,其一是通过预测轧机振动,提前采取一定措施来避免发生剧烈振动;其二是通过改善轧机结构以及工艺参数,达到振动控制的目的;其三是通过附加控制器或者抑振装置对轧机振动进行控制。LUO et al[3]提出了一种轧机的振动建模及预测方法,以对轧机振动进行高精度预测。钱素娟等[4]提出了一种基于深度置信网络算法和粒子群优化算法的轧机振动预测模型,经研究表明该模型预测误差在3.7%以内,具有较高精度。YOUNES et al[5]经过研究发现,通过优化板坯温度以及压下率,能够抑制轧机的振动行为,并且能够减少带材表面的振痕。JIANG et al[6]利用动力吸振器来控制轧辊的振动,研究了吸振器参数的变化对轧辊振动特性的影响,结果表明动力吸振器能够提高轧制过程的稳定性。对于轧机一类的大型设备而言,附加抑振装置是最易实现的一种方法,动力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)以及隔振器是最具有代表性的抑振装置,其在不改变轧机结构的基础上,能够通过灵活多变的结构对工程实际中的非线性振动行为进行控制,且所需要的成本较低。
由于轧辊的振动频率会在较宽的范围内往复变化,而传统的DVA 减振频带较窄,对于轧机振动的控制效果较差。颗粒阻尼是一种多参数、强非线性的能量耗散体,是在振动结构中设置空腔并填充一定数量的颗粒,通过颗粒之间、颗粒与腔壁之间的碰撞、摩擦来耗散主振系的振动能量[7],以两个颗粒碰撞过程为例,其物理过程的描述如图1所示,在接触点处,通过两颗粒间的法向接触刚度和阻尼、切向接触刚度和阻尼以及摩擦的作用来对颗粒的机械能量进行耗散。颗粒阻尼具有诸多优点,且减振频带较宽,适用于频率在较大范围内变化的轧辊振动,已在土木工程、航空航天、机械等领域有了较为广泛的应用。因此,本文提出一种抑制轧辊垂直振动的多自由度PDA,该多自由度PDA 结合了DVA 与颗粒阻尼技术,从而实现轧辊的宽频减振。
图1 颗粒碰撞过程的描述
Fig.1 Description of the particle collision process
PDA 控制下的轧辊振动过程的本质是振动能量在系统中的传递与耗散的过程,对这一过程进行深入研究有助于明确DVA 与轧辊的相互作用机理,掌握PDA 参数对振动能量流动的影响规律,而振动功率流则是描述能量传递的重要工具。ZHU et al[8]研究了共振层复合板的振动传递和功率流行为,并提出了一种基于惯性的抑制装置,可以在较宽的频率范围内降低振动水平。DAI et al[9]研究了线性和非线性约束对冲击振子振动功率流传递行为的影响,为冲击振子的动力学设计提供了理论参考。此外,SAEKI[10]通过研究颗粒阻尼器在水平振动中的性能,提出阻尼性能主要取决于质量比和空腔数量的关系。鲁正等[11]提出一种双调谐颗粒惯容系统,在实现轻质化减振控制的同时提高了阻尼器的减振性能。然而,对于具有众多影响因素的颗粒阻尼,其耗能机理仍然不够清晰,本文通过功率流方法研究了轧辊-PDA 耦合系统的振动传递特性,并通过颗粒流软件PFC3D 系统性地分析了颗粒参数对颗粒群能量耗散性能的影响,为颗粒参数的选择以及工程实际中振动能量的流向控制提供了一定的理论参考。
1 Roll-PDA 耦合系统的振动传递
1.1 系统动力学模型
多自由度PDA 与轧辊的耦合系统四自由度动力学模型如图2 所示。其中,多自由度PDA 由弹簧、阻尼、质量块、颗粒容器以及容器内部的颗粒群组成。系统发生振动时,每个颗粒的运动都是无规则的,当颗粒数目很多时,对它们进行精确分析是非常困难的,本文根据等效简化原则[12]将多颗粒等效为单颗粒进行研究,等效后的颗粒容器为圆柱体,圆面直径与等效后的颗粒直径相同,且认为颗粒与容器壁之间光滑无摩擦。
图2 轧辊-PDA 耦合系统四自由度模型
Fig.2 Four-degree-of-freedom model of the coupled roll-PDA system
图2中,轧辊的质量为m1,颗粒容器的质量为m2,质量块的质量为m3,颗粒群的总质量为mp,k1、c1 为轧制界面间的等效线性刚度和阻尼,k′1 为非线性刚度,k2、c2 为轧辊与压下机构之间的等效线性刚度和阻尼,k3、c3 为PDA 中的颗粒容器与轧辊之间的线性刚度和阻尼,k4、c4 为PDA 中颗粒容器与质量块之间的线性刚度和阻尼,k、c 为辅助约束刚度和阻尼,x1 为m1 的振动位移,x2 为m2 的振动位移,x3 为m3 的振动位移,x4 为mp 的振动位移,近似认为轧辊受到周期性的外激励F(t)=F cos(ωt),等效前的颗粒直径为d,等效后的颗粒直径为D.
基于Rayleigh振子建立图2 所示系统的动力学方程:
1.2 IHBM 分析
增量谐波平衡法(incremental harmonic balance method,IHBM)是一种应用于强非线性振动系统的高精度求解方法。本小节将通过IHBM 对系统(1)进行求解。
将式(1)写为矩阵形式式(2)中
令τ=ωt,假设系统当前的状态是由ω0 表示的Z0,则其临近状态可以表示为
将式(3)代入式(2)中并略去高阶项,得到Δω和与ΔZ 有关的增量方程
将激励、响应以及增量写为傅里叶级数:
其中,j=1,…,4是谐波项的数目,其值越大,则计算结果就越精确,但计算所耗费的时间就越多,本文取n=5.
将Z0 以及ΔZ 写为矩阵形式:
式(5)中,
将式(5)代入式(4),并应用Galerkin平均化过程平衡谐波项,可以得到:
积分式(6)并整理为以ΔA 和Δω 表示的线性方程组:
式(7)中
式中,R 是不平衡力矩阵,当A0 和ω0 是方程(7)的精确解时,R 的值为0.
式(7)中有8n+4 个方程以及8n+5 个未知数,因此必须选定一个未知数作为控制参数并利用Newton-Raphson方法迭代求解。当矩阵R 的2范数小于所定义的误差时,认为迭代是收敛的。本文中,取ε=1×10-4.
为了进行仿真分析,需要明确颗粒容器中颗粒的填充率与颗粒数量之间的关系。对于任意的填充率ζ,假设颗粒容器中填充的颗粒数量为n,则颗粒的总体积为
由孔隙比[13]可以确定
式中,V 为颗粒容器的容积。
根据以上公式则可以得到填充率与相对应的颗粒数量的对应关系为
假设颗粒容器的容积为2×10-4 m3,填充颗粒的材料为钢,直径为3 mm,填充率50%,则根据式(10)可以得到相应的颗粒数量约为3 702,由此可以得到mp=0.4 kg.
以某小型实验轧机为例进行仿真分析,相关参数如表1所示。
表1 某小型实验轧机相关参数
Table 1 Relevant parameters of a small experimental rolling mill
取m2=1 kg,m3=2 kg,k3=100 N/m,k4=100 N/m,c3=15 N·s/m,c4=15 N·s/m,由于颗粒群相对于颗粒容器是高度自由的,取辅助约束刚度和辅助约束阻尼k=0.1 N/m,c=0.1 N·s/m.令外激励幅值F=100 k N,外激励频率ω=130 Hz,分别采用IHBM 和四阶Runge-Kutta法计算系统的解,如图3所示。由图3可以看出,IHBM 的计算结果与四阶Runge-Kutta法的计算结果非常一致。
图3 振动系统位移及速度的稳态解
Fig.3 Steady-state solutions for displacement and velocity of vibrating systems
1.3 轧辊-PDA 系统功率流传递特性分析
一个系统的振动过程实质是系统各部分之间的能量传递和转移的过程。功率流方法综合考虑了力、速度以及它们之间的相位关系[14],其核心思想是利用能量传递的统计分析方法代替复杂模型求解,对系统各部分间能量传递进行分析研究,功率流可以作为一个独立的参数来描述系统的响应,是研究振动系统的有效工具。在隔振系统中,由振源传递至被隔振物体的功率流越小越好,对于吸振系统而言,由振源传递至吸振器的功率流则应越高越好。本小节通过功率流方法来明确轧辊-PDA 系统的振动传递过程,并分析各参数对振动传递的影响规律,这对于PDA 的参数设计具有指导意义。
对于当前系统,引入以下参数
则方程(1)可以改写为:
根据式(11)可以确定系统各部分的时间平均功率流表达式如下。
式中,Δt为外激励工作一个周期所需要的时间。
使ω 在20～400 Hz频率范围内变化,仿真分析了PDA 中的刚度系数和阻尼系数对各部分功率流的影响,如图4-7所示。其中,参数变化对一部分功率流的影响极小,因此并未在图中列出。为了方便描述,将20～210 Hz,210～305 Hz,305～400 Hz 3个频率段分别称为低频段、主共振频段、高频段。
图4 k3 对系统功率流的影响
Fig.4 The effect of k3 on the system power flows
由图4 可知,PDA 中刚度系数k3 对功率流P1、P2 的影响较大。随着k3 的增加,P2 在全频率段内均降低,P1 在低频段与主共振频段内均减小,在高振频段逐渐增加。值得注意的是,功率流P1反映的是轧辊的振动传递给机架和轧制界面的情况,这一部分的振动会影响轧机的稳定性以及轧制产品的质量,应优先考虑使功率流P1 的值保持较低水平。因此当激振频率ω 处于低频段和主共振频段时,应选择较大的刚度系数k3;当ω 处于高频段时,应选择较小的刚度系数k3.
如图5所示,阻尼系数c3 的变化对所有的功率流都具有较大的影响。随着c3 的增加,Pin 在低频段与主共振频段内增加,在高频段内降低;P1 在低频段内增加,在主共振频段与高频段内降低,P2、P3、P4 在全频率段内均增加。同样的,当某一参数对P1 有较明显的影响时,应优先根据P1 来决定如何选择参数,因此为了使P1 尽量的小,当ω 处于低频段时,较小的c3 是比较有利的,而当ω 处于主共振频段与高频段时,较大的c3 不仅能使P1 维持在低值,同时能使PDA 中各部分的能耗增加。
图5 c3 对系统功率流的影响
Fig.5 The effect of c3 on the system power flows
如图6所示,刚度系数k4 仅对P3 有较大的影响,随着k4 的增加,P3 在全频率段内均降低。由于质量块也是PDA 中的主要耗能部件之一,要使P3尽量的大,因此选择较小的P4 有利于质量块吸收振动能量。
图6 k4 对系统功率流P3 的影响
Fig.6 The effect of k4 on the system power flows
如图7所示,阻尼系数c4 的变化对P3 和P4的影响较大,随着c4 的增加,P3 在全频率段内均增加,P4 在全频率段内均降低。由于P3 和P4 均为轧辊传递至PDA 的功率流,因此对于c4 的选择,应根据P3 与P4 的总和来进行判断。表2列出了3个频率段内P3 与P4 平均值的总和,可以看出,低频段内较小的c4 能使PDA 吸收较多的振动能量,主共振频段与高频段内较大的c4 能够提高PDA 的能量吸收效果。
表2 P3 和P4 在三个频率段内的平均值之和
Table 2 The sum of the average values of P3 and P4 in the three frequency bands
图7 c4 对系统功率流的影响
Fig.7 The effect of c4 on the system power flows
综上所述,刚度系数k3 及阻尼系数c3 对功率流P1 具有较明显的影响,应根据P1 来选择k3 和c3 以使轧辊传递至板带以及机架的功率流维持在较低水平。刚度系数k4 及阻尼系数c4 仅对轧辊传递至PDA 中的功率流有较明显影响,在选择k4 和c4 时应使轧辊传递至PDA 中的功率流总和较高。
2 颗粒群能耗特性分析
颗粒群是组成PDA 的重要一环,是主要的耗能部件之一,且颗粒群的耗能效果受到诸多颗粒参数的影响,因此明确它的耗能机理对吸振器中颗粒参数的选择具有指导性意义。本文通过PFC3D 软件对不同参数的颗粒群进行能耗特性分析。PFC3D 是一款离散元软件,它可以模拟任意大小球形颗粒的集合体的动力学行为[15]。同时具有能量跟踪功能,捕捉计算过程中各种能量的变化情况。在颗粒碰撞与摩擦过程中,阻尼功、摩擦功与应变能这三种能量是颗粒群能量耗散的主要途径,因此在仿真模拟中主要跟踪这3种能量的变化情况。
根据第1.2节中所假设的颗粒容器的容积,在PFC3D 中利用内嵌的FISH 语言指定模型域并生成尺寸为80 mm×50 mm×50 mm 密闭墙体,墙体是由数个三角形壁面组合而成,之后按照需要在容器内部生成指定大小与数量的颗粒,如图8所示。
图8 PFC3D软件中颗粒容器以及颗粒群的生成
Fig.8 Generation of particle container as well as particle group in PFC3D software
图中颗粒直径为6 mm,填充率为40%
由于研究对象为垂直振动,且颗粒阻尼的耗能机理仅与系统的振动加速度关系较为密切,相对于PDA 的其他部分是较为独立的,因此在垂直方向上给颗粒容器施加幅值为0.5 m/s2 的简谐加速度信号,同时启用重力加速度。
2.1 颗粒直径对能耗的影响
颗粒材料定义为钢,填充率设置为20%,粒径分别选择2 mm、4 mm、6 mm、8 mm,则根据式(10)可以计算出不同直径对应的颗粒数量,如表3所示。
表3 不同直径对应的颗粒数量
Table 3 Number of particles corresponding to different diameters
为了明确能量损耗的累积过程,以2 mm 钢珠在低频(20 Hz)和高频(300 Hz)情况下的振动为例,绘制了能量跟踪曲线,如图9所示。
图9 颗粒群能耗跟踪曲线
Fig.9 Energy consumption tracking curve for particle group
从图9可以看出,当振动频率较低时,在颗粒群的能量损耗占比由大到小依次排序为应变能、阻尼功、摩擦功,且颗粒群的能量耗散是呈阶梯状增加的,这是由于下落过程中的颗粒与正在上升的容器产生了碰撞,引起了应变能与阻尼功的突增,碰撞结束后颗粒变为上升运动,而容器向下运动,此阶段颗粒群的能量耗散呈现出增长缓慢的平台期,如此往复,从而使总能量耗散呈现出阶梯状曲线,且振动频率较低时阶梯状更为明显。此外,当振动频率为300 Hz时,由于振动频率很高,此时大多数颗粒处于悬浮态,颗粒间的接触密集而迅速,从而导致能耗曲线的阶梯表现出小而密的特性。
使振动频率在20 Hz到300 Hz之间变化,分析了颗粒直径变化对颗粒群总能量耗散的影响,如图10所示。
图10 颗粒直径变化对颗粒群能量耗散的影响
Fig.10 Effect of variation of particle diameter on energy dissipation of particle group
如图10所示,在同一振动频率下,粒径越小,颗粒群的总能量耗散值越高,这是由于粒径越小,颗粒之间以及颗粒与容器壁之间的接触点越多,在振动过程中接触次数也就越多,从而使总能耗值较高。当颗粒直径固定时,随着激振频率的增加,颗粒群的总能耗逐渐降低。因此当颗粒材料和填充率相同时,应选用直径较小的颗粒。
2.2 颗粒材料对能耗的影响
颗粒直径定义为6 mm,填充率设置为20%,材料分别定义为钢、玻璃、POM(聚甲醛)塑料,计算出相应的颗粒数量,如表4所示。
表4 不同材料对应的颗粒数量
Table 4 Number of particles corresponding to different materials
颗粒材料变化对颗粒群总能量耗散的影响,如图11所示。由图11可以看出,在钢、玻璃、POM 塑料3种材质的颗粒中,钢颗粒的能量耗散效果最好,其次为玻璃颗粒,POM 塑料颗粒的能耗效果最差,因此在工程实际应用中,应优先选择钢颗粒。
图11 颗粒材料变化对颗粒群能量耗散的影响
Fig.11 Effect of variation of particle material on energy dissipation of particle group
2.3 颗粒填充率对能耗的影响
颗粒材料定义为钢,直径设置为6 mm,填充率分别设置为20%、40%、60%、80%.计算出不同填充率对应的颗粒填充数量,如表5所示。
表5 不同填充率对应的颗粒数量
Table 5 Number of particles corresponding to different filling rates
颗粒填充率变化对颗粒群总能量耗散的影响,如图12所示。从图12可以看出,当颗粒填充率一定时,颗粒群的能耗随着激振频率的增加而降低。而当激振频率一定时,颗粒群的总能量耗散值随着填充率的增加而增加。对于吸振器而言,一般质量比越大,其抑振效果越好,而颗粒填充率的增加也会使吸振器的质量比增大。因此在实际应用中,应尽量选择较大的填充率,但不宜过大,要给颗粒留有产生跳动行为的空间。
图12 颗粒填充率变化对颗粒群能量耗散的影响
Fig.12 Effect of variation of particle filling rate on energy dissipation of particle group
3 结论
本文针对轧辊的垂直振动,研究了一种颗粒阻尼吸振器(PDA)控制下轧辊的振动功率流特性,并通过模拟研究了颗粒参数对颗粒群总能耗特性的影响。
1) 建立了轧辊-PDA 系统四自由度垂直振动模型,通过增量谐波平衡法求解得到了不同激励频率下系统的振动位移及速度,研究了PDA 中的刚度系数和阻尼系数对系统功率流传输特性的影响。研究结果表明,PDA 参数的变化能够改变系统功率流的流向。对于不同的激励频率,通过选择合适的参数能够使PDA 发挥较好的吸能效果,以提高轧制过程的稳定性。这可以为实际工程结构中振动能量的流向控制提供一定的启示。
2) 为了明确颗粒群的耗能机理,通过颗粒流软件PFC3D 仿真分析了不同的颗粒参数对颗粒群能耗的影响,研究结果表明,当激振频率一定时,颗粒直径越小、填充率越大,则颗粒群的能耗效果越好。此外,在钢、玻璃、POM(聚甲醛)塑料三种材质的颗粒中,钢颗粒群的能耗效果最好。该研究结果能够为工程实际中颗粒参数的选择提供一定的理论参考。
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